Родился в 1919 году. С 1938 года в рядах Красной Армии, место призыва: Гудаутский РВК  ( Грузинская ССР, Абхазская АССР, Гудаутский район ).

К 22 апреля 1942 года командир роты автоматчиков 187-го стрелкового полка  ( 72-я стрелковая дивизия, 42-я армия, Ленинградский фронт )  старший сержант М. Ш. Цужба уничтожил из снайперской винтовки 107 солдат и офицеров противника, был представлен командованием к ордену Ленина.

Приказом по войскам Ленинградского фронта № 01667/н от 27 июля 1942 года награждён орденом Красного Знамени.

К августу 1942 года имел на счету 109 уничтоженных фашистов.

Сведений о дальнейшей судьбе М. Ш. Цужбы, к сожалению, пока нет.